Los Teoremas de Haga (I parte)

Hace algunos meses, cuando me metí en el tema de la Miura Ken Rose de Robert Lang tuve el coraje de escribirle un correo, para mostrarle mi humilde resolución del CP de esta hermosa rosa, la que ya se encuentra diagramada en el libro de la Convención anual de Origami USA 2007, así como también en el libro de la 12a Convención JOAS, y su respuesta me llenó de alegría, no sólo me autorizaba a publicar mi pobre doc sino que además me regaló sugerencias y buenos consejos.

Una de estas sugerencias fue la versión Junior de la Miura Ken Rose, descrita por él como la construcción de una grilla de divisiones horizontales en 12/54, 25/54, y 39/54, cada uno de ellos después divididos a la mitad, junto con divisiones verticales de 1/9 cada una. Entonces me vi enfrentado a este asunto de las divisiones un poco extrañas y a primera vista un poco antojadizas, porque, ¿quién en pleno uso de sus facultades mentales se podría poner a doblar mitades hasta llegar a 54 :D ? La cosa no es tan así, obviamente, si pensamos que 6/54 son 1/9 y que dos veces eso hacen la primera de las divisiones horizontales sugeridas por el Maestro Lang. Además, si dividimos el papel en estas unidades de 6/54 (o 1/9), 6 unidades y media completan los 39/54 de la parte inferior, y dividir una de esas unidades a la mitad no suena como algo tan terrible.



Entonces, ¿cómo consegumos 1/9 al doblar una hoja de papel? Todo un problema, si puedo decirlo. La búsqueda de una respuesta me llevó a los Teoremas de Haga, descritos fantásticamente en el sitio de la Japan Origami Academic Society, por alguien identificado como Koshiro. La idea entonces ahora es mostrar como funcionan y en qué se basan sus resultados.

El Primer Teorema de Haga dice más o menos así: "Si llevamos una esquina de un cuadrado hasta una marca de división par en su lado opuesto, indicará una división impar conocida en su lado adyacente". Para visualizarlo tomaremos el caso más simple de dividir un lado en dos y llevar la esquina opuesta hasta ella, y ver que obtenemos del otro lado.






Como vemos, se obtiene una indicación de 2/3 sobre el lado derecho de este cuadrado. La explicación viene del mundo de las matématicas (¿cómo no?), los triangulos SAP y PBT están relacionados, se dice que son "similares" o proporcionales, es decir el segundo es igual al primero pero proporcionalmente más grande, la demostración de esto está en sus ángulos interiores; existe un teorema clásico de la geometría (y aquí utilizo la palabra "clásico" para excusarme de no demostrarlo :) ) que dice que si un triángulo cualquiera posee cada uno de sus lados perpendiculares a los lados del otro, entonces los ángulos interiores de ambos triángulos son iguales y por tanto ellos son proporcionales o similares entre sí. En este caso es evidente que el lado SA es perpendicular a PB (segmento de la línea AB), que el lado AP es perpendicular a BT y que SP lo es respecto de PT.

Entonces SA=c*PB, AP=c*BT y SP=c*PT y conocemos AP=PB=1/2 y que SA+SP=1, queremos saber cuanto mide BT. Si los triángulos son proporcionales, AP/SA=BT/PB

AP/SA=BT/(1-AP) o sea (1/2)/SA=BT/(1/2) y así BT=1/(4*SA)

¿cuanto vale SA entonces? Por pitágoras sabemos que



y por lo tanto SA = (1-1/4)/2 = (3/4)/2 = 3/8

y BT = 1/(4*3/8) =1/(3/2) = 2/3

Ahora bien, en el caso general tenemos



generándose la siguiente tabla, que podría ser nuestro caballo de batalla a la hora de crear grillas de divisiones arbitrarias:


en una futura entrada podríamos revisar las otras formas que existen para obtener estas divisiones, conocidas como los Teoremas Segundo y Tercero de Haga, si hay interés, claro :P

muchos saludos...