mis plegados

sábado, mayo 24, 2008

Los Teoremas de Haga (I parte)




Hace algunos meses, cuando me metí en el tema de la Miura Ken Rose de Robert Lang tuve el coraje de escribirle un correo, para mostrarle mi humilde resolución del CP de esta hermosa rosa, la que ya se encuentra diagramada en el libro de la Convención anual de Origami USA 2007, así como también en el libro de la 12a Convención JOAS, y su respuesta me llenó de alegría, no sólo me autorizaba a publicar mi pobre doc sino que además me regaló sugerencias y buenos consejos.

Una de estas sugerencias fue la versión Junior de la Miura Ken Rose, descrita por él como la construcción de una grilla de divisiones horizontales en 12/54, 25/54, y 39/54, cada uno de ellos después divididos a la mitad, junto con divisiones verticales de 1/9 cada una. Entonces me vi enfrentado a este asunto de las divisiones un poco extrañas y a primera vista un poco antojadizas, porque, ¿quién en pleno uso de sus facultades mentales se podría poner a doblar mitades hasta llegar a 54 :D ? La cosa no es tan así, obviamente, si pensamos que 6/54 son 1/9 y que dos veces eso hacen la primera de las divisiones horizontales sugeridas por el Maestro Lang. Además, si dividimos el papel en estas unidades de 6/54 (o 1/9), 6 unidades y media completan los 39/54 de la parte inferior, y dividir una de esas unidades a la mitad no suena como algo tan terrible.



Entonces, ¿cómo consegumos 1/9 al doblar una hoja de papel? Todo un problema, si puedo decirlo. La búsqueda de una respuesta me llevó a los Teoremas de Haga, descritos fantásticamente en el sitio de la Japan Origami Academic Society, por alguien identificado como Koshiro. La idea entonces ahora es mostrar como funcionan y en qué se basan sus resultados.

El Primer Teorema de Haga dice más o menos así: "Si llevamos una esquina de un cuadrado hasta una marca de división par en su lado opuesto, indicará una división impar conocida en su lado adyacente". Para visualizarlo tomaremos el caso más simple de dividir un lado en dos y llevar la esquina opuesta hasta ella, y ver que obtenemos del otro lado.






Como vemos, se obtiene una indicación de 2/3 sobre el lado derecho de este cuadrado. La explicación viene del mundo de las matématicas (¿cómo no?), los triangulos SAP y PBT están relacionados, se dice que son "similares" o proporcionales, es decir el segundo es igual al primero pero proporcionalmente más grande, la demostración de esto está en sus ángulos interiores; existe un teorema clásico de la geometría (y aquí utilizo la palabra "clásico" para excusarme de no demostrarlo :) ) que dice que si un triángulo cualquiera posee cada uno de sus lados perpendiculares a los lados del otro, entonces los ángulos interiores de ambos triángulos son iguales y por tanto ellos son proporcionales o similares entre sí. En este caso es evidente que el lado SA es perpendicular a PB (segmento de la línea AB), que el lado AP es perpendicular a BT y que SP lo es respecto de PT.

Entonces SA=c*PB, AP=c*BT y SP=c*PT y conocemos AP=PB=1/2 y que SA+SP=1, queremos saber cuanto mide BT. Si los triángulos son proporcionales, AP/SA=BT/PB

AP/SA=BT/(1-AP) o sea (1/2)/SA=BT/(1/2) y así BT=1/(4*SA)

¿cuanto vale SA entonces? Por pitágoras sabemos que



y por lo tanto SA = (1-1/4)/2 = (3/4)/2 = 3/8

y BT = 1/(4*3/8) =1/(3/2) = 2/3

Ahora bien, en el caso general tenemos



generándose la siguiente tabla, que podría ser nuestro caballo de batalla a la hora de crear grillas de divisiones arbitrarias:


en una futura entrada podríamos revisar las otras formas que existen para obtener estas divisiones, conocidas como los Teoremas Segundo y Tercero de Haga, si hay interés, claro :P

muchos saludos...

14 comentarios:

meri affranchino dijo...

mi querido amigo... te me has puesto dificil!!!!!
ya teorema es una palabra asociada a mis más profundas frustraciones escolares....
y del resto ni que hablar....
hagamos un trato.....
tu piensas y pliegas....
asi de bonito como pliegas....
y yo.... casi en un justo equilibrio....
te disfruto....
todo eso que suelo disfrutar de tus plegados....
nada más eso....
te parece justo....?????????????
dale que sí!!!!!!
felicitaciones por la lucidez....
seguire disfrutando...
un abrazo grandooooooooooooote
de la mala de meri

peterself dijo...

Hola Meri!

que más quisiera que tener un poco de lucidez jajaja con mi vida que va lado a lado y yo sin entender nada :P

Sólo son matemáticas... un juego que me gustó de niño y que lo seguí jugando hasta adulto ;) Yo disfrutaré de tu lucidez en Agosto amiga mala jajaja.

Padyta dijo...

oye creo que entendi basante bien lo de las equivalencia de los triangulos (algo queda del colego aun)...pero lo que no me quedo claro es de donde sacas que SA + SP =1?..en alguna parte del camino me perdí...
de todas formas me agrada esto de los teoremas...aunque luego se me olviden...mejor sigo plegando por digramas nada mas
Saluditos!!!

peterself dijo...

Hola Padyta!

SA y SP son las dos partes del lado izquierdo del cuadrado, sólo que está doblado hacia arriba, siempre se asume que el cuadrado es de lado 1, para no enredar aun más la cosa.

muchos saludos :)

Nicolás Gajardo Henríquez dijo...

Espero que haya suficientes entusiastas para que continúes con los análisis de los teoremas de haga, me parece una gran iniciativa y a la vez una gran entrada pero se me queda algo en el tintero…

Los teoremas de haga ayudan a construir proporciones que no somos capaces de realizar con algo como un simple punto de referencia como seria dividir en 2 partes o en 4,8 y bla,bla, bla… cosa que has dicho y que no tengo nada que hacer, pero una de las gracias mas grandes es la generalización del teorema de haga para la forma que detallaste ahí, esa que dice mas o menos así…

AP/AB = n/2*r

BT/AB = 2n/((2*r)+n)

donde r perteneciente a los Naturales es el que te construye la división, es decir en las partes que estará dividido el tramo AB. Por eso por ejemplo cuando se divide en 8 partes AB r=3. luego n indica el numero de divisiones que estamos tomando y por lo tanto n varia de 1 hasta (2*r)-1 porque en los dos extremos no se produce nada muy interesante.
Así entonces se verifica la relación
AP/AB = 7/8

BT/AB = 14/15

Donde n=7 y r=3


Con la generalización se ahorra tiempo, y identificando bien n y r ó la división que queremos construir en términos de estas dos variables podemos utilizar el teorema de una manera mas efectiva y acabada.

Suerte con los estudios que se vienen!!!! Aguante lustre 16X16

Abrazos

Nico

peterself dijo...

hola nico!

me costó un poco resolverlo jajaja tuve que acordarme de un par de cosas de la U; aquí va:

tenemos que BT= (2AP(1-AP))/(1-AP^2) y tu me dices que AP=n/2r, entonces

BT=2(n/2r)(1-n/2r)/(1-(n/2r)^2)

=(n/r)((2r-n)/2r)/(4r^2-n^2)/4r^2

y aqui me acordé de un teorema respecto de (a^2-b^2)=(a-b)(a+b)

=(n(2r-n)/2r^2)/(2r-n)(2r+n)/4r^2
=n/(2r+n)/2
=2n/(2r+n)

eso, muy práctico tu consejo, abrazo Maestro.

Nicolás Gajardo Henríquez dijo...

Jajajjajajajja!!!!!!


Esa si es una buenísima respuesta!!!!!!!
Creo que logre removerte un poco para que te decidieras hacer la demostración!

Agradecido por lo de maestro y orgulloso de tu trabajo!!!
Eso no se ve en todos lados y mas encima lo tenemos en casa!!!

Abrazos

Nico

origanimal dijo...

cri cri
cri cri

:S

Visión dijo...

hola, en ei slideshow que hay en tu blog sale un fenix 3.5 en miniatura, no sabes cuanta envidia corroe mi ser todo cuando veo ese pajarito porque yo trate muchas veces de plegarlo pero siempre me quedo pegado en la parte donde hay que extender las alas y reacomodarlas en su posicion final. El ancient dragon tambien esta bonito, tienes el titulo de haber doblado el AD mas chico del mundo, no es poco, hasta te vi en el BBS de kamiya posteando tu dragon, hasta te contestaron y mira con lo uraños que son los nipones(...)

yap esta muy bonito tu blog y el entusiasmo con que te entregas a tu pasion, sigue asi que inspiras.

suerte.

PD: un dia cuando tengas tiempo y no sepas que postear en tu blog haz una guia o un video de como es el acabado de las alas del fenix 3.5, gracias. 8)

peterself dijo...

Hola origanimal ;)

no es tan difícil como parece... :)

peterself dijo...

Hola Vision

muchas gracias por tus palabras :D

La parte de las alas es la más rara de la figura, por lo que entendí es rotar hacia atrás la aleta que se genera y luego extenderla por atrás, de modo de tener una extensión que a su vez posee una marca de para hacer un zig zag (todo es doble capa), luego se devuelve por adelante la mitad del ancho de esa aleta de zig zag, para poder abrirla y aplastarla contra el ala y generar la banda central del ala.

Luego hacia el final se hace un escalonado que se colapsa interiormente en una de las capas intermedias para inclinar y abrir el ala en diagonal y 3D y se hace algo parecido con la primera banda para levantar el borde superior del ala hacia arriba.

Es un tanto complicado de explicar y también de hacer jajajaja, al final terminé arreglándomelas lo mejor que pude...

Sobre el Ancient Dragon, no soy el record jaja, hay muchos que lo han hecho en 15x15, aunque todos los que he visto han usado metalizado delgado y yo soy el único que sé lo ha hecho en papel así normal. Jajaja en todo caso ya me lancé con un 14x14, a ver qué sale :P

un abrazo y pensaré lo del phoenix es una figura muy linda y no me gustó como me quedó esa vez.

Visión dijo...

gracias por los consejos, haber si le doy otro intento al fenix uno de estos dias.

Estaba leyendo tu articulo sobre el teorema de Haga a proposito de la carta de Lang, mencionas que te da las medidas para una mini miura-ken, dices: "12/54, 25/54, y 39/54" , esta errado porque la suma de eso >1, cuando debiera ser =1.
Bueno eso seria, chau.

peterself dijo...

Hola Vision

perdona la demora. No es exactamente que se divida la hoja en esas unidades, esas proporciones indican la altura a la que se encuentra cada una de las divisiones. Por ejemplo, la primera está a 12/54 (o 2/9), la segunda está a 25/54 (o a 4,17/9), marcando una banda de 13/54 entre la primera y ella, finalmente la tercera división está a una altura de 39/54 (o 6,5/9), marcando una banda de 14/54 respecto de su predecesora, y dejando una banda final de 15/54 arriba. Cada una de esas bandas se dobla por la mitad. Editaré la entrada para agregar un gráfico.

Un gran saludo

Anónimo dijo...

Muy interesante... pero la segunda parte?