Su Majestad el Cuadrado

Mi gran amiga Padyta me preguntó en la entrada anterior si es posible obtener un ángulo recto de forma arbitraria en una hoja de papel. Si recordamos que un cuadrado es posible de obtener a partir de este ángulo, su pregunta reviste entonces una gran importancia. Motivado por ello, me animé y me puse a analizar el problema.

Construir una línea perpendicular a otra en Geometría de dos dimensiones requiere el uso de regla y compás y no es un proceso demasiado sencillo. Una forma de hacerlo es trazando una circunferencia de radio arbitrario desde un punto de la recta (punto A) y luego otra desde la intersección de ella con la recta (punto B), la intersección de ambas circunferencias nos dará un punto equidistante de ambas puntas (C), luego se traza otra circunferencia con el mismo radio, centrada en este punto, y luego otra centrada en la intersección de ésta con la primera (punto D). Así obtenemos el punto E en la intersección de estas dos últimas circunferencias (centradas en los puntos C y D respectivamente), este punto pertenece a la perpendicular a nuestra recta original que pasa por nuestro vértice A.



Sin embargo, la "origeometría" nos permite proyectarnos en una tercera dimensión y nos permite contar con la hoja real como un elemento adicional en nuestras capacidades; así, si poseemos una línea recta cualquiera, doblando el papel y alineando esta línea sobre sí misma obtendremos inmediatamente una perpendicular a ella.





Ahora, logramos nuestro ángulo recto, ¿es posible entonces construir un cuadrado perfecto a partir de ambas rectas? La respuesta, afortunadamente, es sí; he aquí un método para esto.

Lo primero que se debe hacer es construir un ángulo de 45° a partir de ambas rectas, esto nos permitirá encontrar la línea a 45° que pasa por uno de nuestros vértices arbitrariamente definidos. Para esto, doblamos la bisectriz de nuestro ángulo, alineando ambas rectas perpendiculares en el punto de su intersección.



Luego alineamos nuestra línea de 45° sobre sí misma, doblando de manera que pase por el vértice que hemos definido para nuestro cuadrado. Una buena elección de éste vértice nos permitirá aprovechar de mejor manera la hoja de papel y obtener el cuadrado más grande posible de ella.





Al hacer esto, podemos marcar y cortar uno de los ángulos principales del cuadrado. Y tal como lo vimos en la entrada anterior, obtener a partir de éste el ángulo opuesto es algo sencillo si se dobla alineando la diagonal de éste sobre sí misma.





Queda pendiente entonces una forma de asegurar un cuadrado de la máxima área posible para nuestra hoja de papel. Un saludo y espero que les haya gustado ;) .